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懸臂梁在端部集中力作用下的力流
在靜力學(xué)領(lǐng)域，結(jié)構(gòu)是要將力傳遞到目的地，即結(jié)構(gòu)工程師通過材料的組裝引導(dǎo)力流的傳遞。
力流從一個點(diǎn)傳遞到另一個點(diǎn)，可選的路徑很多。那么，沿哪條路徑傳遞才是最優(yōu)的呢？或者怎樣判斷結(jié)構(gòu)效率的高低？這是本文要討論的問題。
首先看一個概念——“應(yīng)變能”。
應(yīng)變能
應(yīng)變能是什么？我們從兩個角度看。
從結(jié)構(gòu)外部看，外力所做的功以應(yīng)變能的形式存儲于結(jié)構(gòu)內(nèi)，結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能等于外力與結(jié)構(gòu)變形的乘積。
式中：C為結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能；P為結(jié)構(gòu)所受外力；U為結(jié)構(gòu)在外力P處的變形。
（1）式可以寫為：
其中，1/U為結(jié)構(gòu)剛度，假設(shè)荷載是一個常量，則應(yīng)變能C越小，表示結(jié)構(gòu)的剛度越大。因此，在相同荷載下，應(yīng)變能最小表示該結(jié)構(gòu)剛度最大。
從結(jié)構(gòu)內(nèi)部看，應(yīng)變能是應(yīng)變能密度對體積的積分。
c為應(yīng)變能密度，應(yīng)變能密度定義如下：
式中：σ為應(yīng)力，ε為應(yīng)變，λ為應(yīng)力比。
式（3）可改寫為下式：
應(yīng)力比代表結(jié)構(gòu)的應(yīng)力水平，而結(jié)構(gòu)所用材料的體積即為結(jié)構(gòu)的材料用量。因此，由式（5）可見，應(yīng)變能反映的是應(yīng)力比水平與材料用量之間的一個關(guān)系。
在材料用量一定的情況下，結(jié)構(gòu)應(yīng)變能越小，表示應(yīng)力比水平越低；在應(yīng)力比水平一定的情況下，結(jié)構(gòu)應(yīng)變能越小，表示材料用量越低。
綜上所述，如果我們以材料的用量來評價結(jié)構(gòu)傳力效率（即荷載和邊界條件相同的情況下，材料用量少，結(jié)構(gòu)效率高；材料用量多，結(jié)構(gòu)效率低），那么“應(yīng)變能”可以作為結(jié)構(gòu)傳力效率的指標(biāo)。
應(yīng)變能作為結(jié)構(gòu)傳力效率指標(biāo)的前提條件
要得到上面的結(jié)論，須有以下兩條假定：
a）以上論斷都只有在應(yīng)力不超過材料彈性極限，以及不考慮幾何非線性、穩(wěn)定的前提下才能成立，也就是說，只適用于線彈性范圍之內(nèi)。
b）因為推導(dǎo)中采用應(yīng)力比λ表征了截面應(yīng)力水平，所以以上結(jié)論僅在截面應(yīng)力分布完全均勻（軸拉或軸壓）的情況下成立。
因為對于受軸力的構(gòu)件，應(yīng)力在截面上、軸力在桿件長度上都分布均勻。但是對于受彎構(gòu)件，應(yīng)力在截面上分布是不均勻的；而且在受橫向力彎曲時，彎矩沿桿件長度的分布也并不均勻。
對于實際工程，由于需要考慮的因素非常多（比如建筑的功能、美觀要求），結(jié)構(gòu)工程師必須在某些地方進(jìn)行妥協(xié)。怎樣達(dá)到綜合效益的最佳，本文不作討論。
應(yīng)變能的概念分析
在式（5）的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步簡化公式。
假設(shè)結(jié)構(gòu)的每一根桿件應(yīng)力比均相同，即λ為定值。則式（5）可以簡化為下式。
由式(6)可知，應(yīng)變能C與應(yīng)力比的平方成正比,是一個標(biāo)量。因此，計算應(yīng)變能時，力流不區(qū)分拉力還是壓力，均為正。
由V=∑A×L（A為橫截面面積，L為桿件長度）可得：
假設(shè)桿件均在同一應(yīng)力水平下（即應(yīng)力比相同），則桿件的軸力與橫截面面積成正比：
將式(8)代入式(7)中，則：
假設(shè)R為一定值：
將式(10)代入式(9)中，則：
式（11）的物理意義為：一個結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能與力流大小及力流走過的長度成正比。因此，傳力越直接，應(yīng)變能越小。
所以，力沿剛度最大的路徑傳遞，而力沿最短路徑傳遞是最有效率的。
討論
示例1：有兩根相互鉸接的二力桿，兩端是鉸接支座，假設(shè)結(jié)構(gòu)高度為H，H為常數(shù)，θ作為變量，中間受到一個豎直向下的集中力F作用，如圖1所示。
圖1 二力桿示例計算簡圖
結(jié)構(gòu)應(yīng)變能：
單根桿件軸力：
單根桿件變形：
整個結(jié)構(gòu)應(yīng)變能：
所以，θ=90°時，結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能最小，即可認(rèn)為此時結(jié)構(gòu)效率最高。
示例2：有兩根相互鉸接的二力桿，兩端是鉸接支座，支座間距為2L，假設(shè)L為常數(shù)（示例1中H為常量），θ為變量，中間受到一個豎直向下的集中力F作用，如圖2所示。
圖2 二力桿示例計算簡圖
結(jié)構(gòu)應(yīng)變能：
單根桿件軸力：
單根桿件變形：
整個結(jié)構(gòu)應(yīng)變能：
通過Matlab可以求出上式的最小正值。
假設(shè)
可得，函數(shù)的極值點(diǎn)為x=0.9553，對應(yīng)極值為f(x)=2.5981。函數(shù)圖形如圖3所示。
圖3 f(x)的函數(shù)圖形
綜上所述，θ=0.9553rad（54.762°）時，結(jié)構(gòu)應(yīng)變能取得最小值。結(jié)構(gòu)效率是在θ=54.762°時最高。
那么問題來了，這是兩個形狀相同的結(jié)構(gòu)，為什么根據(jù)應(yīng)變能判斷的結(jié)構(gòu)效率會不一樣？這個留給大家討論。下一篇小i會把自己的理解梳理出來，供大家討論。
概念性的小結(jié)
▲力沿剛度最大的路徑傳遞，但并不代表剛度最大的路徑結(jié)構(gòu)效率最高。最短的路徑才是力流傳遞是最有效率的，材料是最省的。
▲應(yīng)變能可以代表結(jié)構(gòu)的材料用量，因此結(jié)構(gòu)優(yōu)化中可以將它作為優(yōu)化指標(biāo)。關(guān)于結(jié)構(gòu)優(yōu)化的內(nèi)容在此不展開，會在以后的文章中論述。
結(jié)構(gòu)優(yōu)化解的多樣性
仍然使用經(jīng)典二力桿案例進(jìn)行分析。
示例：有兩根相互鉸接的二力桿，兩端是鉸接支座，支座間距為2L，假設(shè)L為常數(shù)，θ為變量，中間受到一個豎直向下的集中力F作用，如圖1所示。
圖1 二力桿示例計算簡圖
單根桿件軸力：
單根桿件變形：
整個結(jié)構(gòu)應(yīng)變能：
1）截面為常量，應(yīng)力為變量
這個假定在上一篇示例中沒有明確，在此強(qiáng)調(diào)一下。如給您帶來困惑，表示歉意。則求解應(yīng)變能的極值就是求解以下函數(shù)的極值：
以上函數(shù)的極值點(diǎn)為x=0.955，對應(yīng)極值為f(x)=2.5981。
所以假設(shè)桿件截面不變，當(dāng)θ=54.76°時，應(yīng)變能最低，結(jié)構(gòu)剛度最大。
2）應(yīng)力為常量，截面為變量
假設(shè)應(yīng)力為常量，那么截面積A就是一個隨θ變化的變量。
應(yīng)變能的表達(dá)式就要改寫為如下：
由上式可知，應(yīng)變能在θ=45°時最小。即控制桿件應(yīng)力水平相同，當(dāng)θ=45°時，應(yīng)變能最低，結(jié)構(gòu)材料用量最小。
3）H為常量，L為變量
上一篇示例1）中已有推導(dǎo)，在此僅給出結(jié)論。應(yīng)變能的表達(dá)式如下：
可見，應(yīng)變能在θ=90°時最小。所以，如果截面恒定，θ=90°時結(jié)構(gòu)剛度最大；如果應(yīng)力比恒定，θ=90°時材料用量最小。
以上都是以應(yīng)變能為優(yōu)化目標(biāo)，但是當(dāng)約束條件不同時，得到的結(jié)果不同。若進(jìn)一步改變優(yōu)化目標(biāo)，看下優(yōu)化的結(jié)果是什么？
4）截面不變，考慮壓桿穩(wěn)定，以最大承載力為優(yōu)化目標(biāo)
首先歐拉公式為：
將桿件長度與L和θ的關(guān)系代入上式，可得：
進(jìn)而可以得到外力F與θ的關(guān)系：
由上式可知，θ=35.26°時，相同的桿件截面可以承受最大的外力F。
可見，不同的約束條件、不同的優(yōu)化目標(biāo)，得到的結(jié)構(gòu)形態(tài)都是不同的。小i在實際的優(yōu)化實踐中覺得，假定截面為常量進(jìn)行優(yōu)化比較可行。
比如在進(jìn)行形態(tài)優(yōu)化時，將截面設(shè)定為常量將會減少非常多的優(yōu)化變量，這樣僅需將優(yōu)化變量設(shè)定為節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，計算工作量大大下降。而這樣做可以得到一個相對較優(yōu)的解。下圖即為采用該種方法進(jìn)行形態(tài)優(yōu)化的一個示例。
結(jié)構(gòu)效率系數(shù)—結(jié)構(gòu)效率的另一個指標(biāo)
之前探討了應(yīng)變能作為作為結(jié)構(gòu)效率的評價指標(biāo)，但是小i還想探討結(jié)構(gòu)效率的另一個指標(biāo)，我稱之為“結(jié)構(gòu)效率系數(shù)”。這個指標(biāo)的物理意義存疑，但小i仍覺值得討論。
如果我們將結(jié)構(gòu)的傳力類比于“工作總量”和“工作時間”，我們是不是能夠?qū)⒔Y(jié)構(gòu)效率類比于“工作效率”呢？
“工作總量”——外力勢能(W)
我們將外力F與外力到傳力目的地的距離s的乘積定義為外力勢能W：
規(guī)定：支座位置為外力的勢能零點(diǎn)。
“結(jié)構(gòu)的工作時間”——結(jié)構(gòu)應(yīng)變能(C)
在應(yīng)力比水平相同的情況下，我們用應(yīng)變能的大小反映結(jié)構(gòu)傳遞外力所要耗費(fèi)的材料。
“工作效率”——結(jié)構(gòu)效率系數(shù)(μ)
結(jié)構(gòu)效率系數(shù)=外力勢能/結(jié)構(gòu)應(yīng)變能
μ=W/C
基于此，再看以下示例：有兩根相互鉸接的二力桿，兩端是鉸接支座，支座間距為2L，假設(shè)L為常數(shù)，θ為變量，中間受到一個豎直向下的集中力F作用，如圖2所示。
圖2 二力桿示例計算簡圖
外力勢能：
結(jié)構(gòu)應(yīng)變能：
結(jié)構(gòu)效率系數(shù)：
可見，不管是應(yīng)力比為常量還是截面面積為常量，都是θ=90°時結(jié)構(gòu)效率系數(shù)最高。
但是，θ=90°，外力勢能趨于無窮大，材料用量也趨于無窮大。
假設(shè)H為常量，L為變量
外力勢能：
W=FH（定值）
結(jié)構(gòu)應(yīng)變能：
結(jié)構(gòu)效率系數(shù)：
由上式可得，θ=90°時，結(jié)構(gòu)效率系數(shù)最大，同時，結(jié)構(gòu)應(yīng)變能最小。
可見，如果以“結(jié)構(gòu)效率系數(shù)”為指標(biāo)，則用應(yīng)變能優(yōu)化得到的不同解統(tǒng)一為一個解。關(guān)于這個指標(biāo)中的“外力勢能”，小i解釋不清。對于一根懸臂梁，在自由端作用一個集中力，外力勢能應(yīng)該是力與力臂的乘積。但通常我們認(rèn)為，力與力臂的乘積是力矩。雖然小i知道，力矩是矢量、勢能是標(biāo)量。但巧的是，他們的單位都是kN.m。所以，小i覺得這兩個物理量之間是不是統(tǒng)一的？但目前為止，還沒想通。如果您有想法，歡迎留言。
弗雷·奧托研究輕型結(jié)構(gòu)時，也采用了類似的指標(biāo)來研究結(jié)構(gòu)的受力效率。他認(rèn)為“力臂、力傳遞距離、輸送能力等專業(yè)名詞，他們有著相同的基本意義”。有興趣的朋友可以查閱《輕型建筑與自然設(shè)計—弗雷·奧托作品全集》。
小結(jié)
▲力沿剛度最大的路徑傳遞，但并不代表剛度最大的路徑結(jié)構(gòu)效率最高。最短的路徑才是力流傳遞是最有效率的，材料是最省的或剛度是最大的。
▲應(yīng)變能可以一定程度代表結(jié)構(gòu)的材料用量和結(jié)構(gòu)剛度，因此結(jié)構(gòu)優(yōu)化中可以將它作為優(yōu)化指標(biāo)，且建議實際優(yōu)化中假定截面是不變的。
▲不同的約束條件、不同的優(yōu)化目標(biāo)所導(dǎo)致的優(yōu)化結(jié)果可能不一樣。優(yōu)化得到的解往往是一個相對優(yōu)的解，而不是絕對最優(yōu)解。
▲介紹了一個概念“結(jié)構(gòu)效率系數(shù)”，這是一個有爭議的概念，且在結(jié)構(gòu)設(shè)計中暫時看不到應(yīng)用。
